Gua de Ejercicios de Clculo Vectorial (Teorema de Stokes y Teorema de Gauss) correspondientes al curso MA-2113 de la Universidad Simn Bolvar Authors: Jos Alejandro Da Silva. If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. . Por el contrario, calculemos la integral de lnea utilizando el teorema de Stokes. Los vectores tangentes son tx=1,0,gxtx=1,0,gx y ty=0,1,gy,ty=0,1,gy, y por lo tanto, txty=gx,gy,1.txty=gx,gy,1. Las integrales de flujo de los campos vectoriales que pueden escribirse como el rizo de un campo vectorial son independientes de la superficie, del mismo modo que las integrales de lnea de los campos vectoriales que pueden escribirse como el gradiente de una funcin escalar son independientes de la trayectoria. ejercicios resueltos por medio del teorema de Green, definicin y como aplicar el teorema. Clculo diferencial e integral - Mariano Soler Dorda 1997-01 . En realidad hay varios pares de funciones que satisfacen esto. Dado el campo vectorial $$F(x,y,z)=(3y,-xz,yz^2)$$ y la superfcie $$S$$ dada por la ecuacin $$2z=x^2+y^2$$, para $$z \in [0,2]$$, comprobar que se cumple el teorema de Stokes. En otras palabras, el lado derecho de FF es la misma curva que el lado izquierdo de E, solo que orientada en la direccin opuesta. El flujo (t)=D(t)B(t).dS(t)=D(t)B(t).dS crea un campo elctrico E(t)E(t) que s funciona. La mejor manera de tener una idea de su utilidad es simplemente ver unos ejemplos. triples El teorema de Green Teorema de la divergencia El teorema de Stokes Integracin numrica aproximada con MatlabFunciones de . ltima edicin el 14 de julio de 2019. El teorema de Green puede convertir integrales de lnea difciles en integrales dobles ms directas. F(x,y,z)=xyizjF(x,y,z)=xyizj y S es la superficie del cubo 0x1,0y1,0z1,0x1,0y1,0z1, excepto en la cara donde z=0,z=0, y utilizando el vector normal unitario que est hacia afuera. Teorema de Stokes; Teorema de Green; National Polytechnic Institute BUSINESS ADMINISTRATION 234. TEOREMA DE STOKES. Puedes calcular el rea de una regin con la siguiente integral de lnea alrededor de su frontera orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj: El teorema de Green es bonito y toda la cosa, pero aqu vas a aprender acerca de cmo se usa en realidad. que corresponde precisamente al teorema de Green. , Copyright 2023 Ladybird Srl - Via Leonardo da Vinci 16, 10126, Torino, Italy - VAT 10816460017 - All rights reserved, Descarga documentos, accede a los Video Cursos y estudia con los Quiz, Ejercicios Resueltos - Teorema De Stokes - Ejercicios - Anlisis, Ejercicios resueltos de Teorema de Pitgoras, Teoremas- DERIVADAS con ejercicios resueltos explicados paso a paso, Teorema del seno y coseno: ejercicios resueltos, Ejercicios resueltos por el teorema de Stokes, Tema 1T eorema de tales, ejercicios y explicaciones sobre Teorema de Tales desarrollo. $$$=-4\int_0^{2\pi} \Big(2+\dfrac{1-\cos(2t)}{2}\Big)dt=-8\cdot2\pi-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot2\pi=-20\pi$$$ Ahora considera la regin entre las grficas de estas funciones. Podemos quitar todos los . La orientacin de C en sentido contrario a las agujas del reloj es positiva, al igual que la orientacin de C.C. Corte la superficie en trozos pequeos. Estrategias instruccionales: Conferencias en donde se presentan: los conceptos y mtodos fundamentales del clculo, la estructura matemtica del clculo, ejemplos, ejercicios y la solucin de problemas. Demostraci on del Teorema de Stokes para gr a cas 20 2. C:r(t)=coscost,sent,sencost,C:r(t)=coscost,sent,sencost, para 0t2 ,0t2 , donde 02 02 es un ngulo fijo. 3 dada por (,) = cos,sen,0 (r 66R . Dado que el rea del disco es r2 ,r2 , esta ecuacin dice que podemos ver el rizo (en el lmite) como la circulacin por unidad de superficie. El rizo de F es z,0,x,z,0,x, y el teorema de Stokes y la Ecuacin 6.19 dan. Aqu investigamos la relacin entre el rizo y la circulacin, y utilizamos el teorema de Stokes para enunciar la ley de Faraday, una importante ley en electricidad y magnetismo que relaciona el rizo de un campo elctrico con la tasa de cambio de un campo magntico. 42-43 16.9 Teorema de la Divergencia [1103] 5-14, 23-30. Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License Veamos ahora una demostracin rigurosa del teorema en el caso especial de que S sea el grfico de la funcin z=f(x,y),z=f(x,y), donde x y y varan sobre una regin bordeada y simplemente conectada D de rea finita (Figura 6.82). Como el teorema de Green se aplica a curvas orientadas en sentido contrario a las manecillas del reloj, esto significa que tendremos que tomar el negativo de nuestra respuesta final. 2 Observe que para calcular SrizoF.dSSrizoF.dS sin utilizar el teorema de Stokes, tendramos que utilizar la Ecuacin 6.19. Para calcular la integral de lnea directamente, tenemos que parametrizar cada lado del paralelogramo por separado, calcular cuatro integrales de lnea por separado y sumar el resultado. 8. Verifica el teorema de green para el campo vectorial F y la regin "D" que se indica. Por ejemplo, se puede aplicar a un cilindro Kdel tipo x2 +y2 = 0, a z b. Partiendo de cualquiera de ambos teoremas se puede llegar al teorema de Green. Solucion Como la curva es regular a trozos y la funcion F (x, y) = (y2, (x + y)2) es diferenciable, puede aplicarse el teorema de Green. Por lo tanto, podemos dejar que el rea D(t)D(t) se reduzca a cero tomando un lmite y se obtiene la forma diferencial de la ley de Faraday: En el contexto de los campos elctricos, el rizo del campo elctrico puede interpretarse como el negativo de la tasa de cambio del campo magntico correspondiente con respecto al tiempo. F(x,y,z)=y2 i+z2 j+x2 k;F(x,y,z)=y2 i+z2 j+x2 k; S es la porcin del primer octante del plano x+y+z=1.x+y+z=1. Observe que el rizo del campo elctrico no cambia con el tiempo, aunque el campo magntico s lo hace. $$$=\lbrace\mbox{Pasando a coordenadas polares } (|J|=r)\rbrace=$$$ En este caso se opera con un diferencial de este vector. En este caso especial, el teorema de Stokes da CF.dr=SrizoF.kdA.CF.dr=SrizoF.kdA. Por lo tanto, si S1rizoF.dSS1rizoF.dS es difcil de calcular pero S2 rizoF.dSS2 rizoF.dS es fcil de calcular, el teorema de Stokes nos permite calcular la integral de superficie ms fcil. Por la Ecuacin 6.23. 2 Veamos cmo se ve esto en accin. Hemos demostrado que el teorema de Stokes es verdadero en el caso de una funcin con un dominio que es una regin simplemente conectada de rea finita. ds = 0. x , Podemos producir corriente a lo largo del alambre cambiando el campo B(t)B(t) (esto es una consecuencia de la ley de Ampere). y $$$\int_S rot(F)dS=\int_S rot(F(\sigma(x,y)))dS=$$$ Veamos: El rea de una regin D viene dada por . Teorema de Green 7 1. Para qu valor de la circulacin es mxima? integral de linea.pdf Ver Descargar: Marco Terico de integrales de lnea + ejemplos 137 kb: v. 2 : 3 mar 2012, 16:45: Paz Palma Contreras: : Integrales de Lnea - Ejercicios Resueltos.pdf Ver Descargar 104 kb: v. 1 : 11 nov 2013, 11:00: Paz Palma Contreras: : Integrales de Lnea - Libro.pdf Ver Descargar: Resumen de la materia 1801 kb . Despus de hacer esto un par de veces, es suficientemente natural hacerlo en tu cabeza. De modo que en trminos de las variables cartesianas el campo vectorial dado puede expresarse como: F = x 2 + y 2 + z 2 ( x; y; z ) Evale la integral S(F).ndS,S(F).ndS, donde F=xzi+yzj+xyezkF=xzi+yzj+xyezk y S es el tope del paraboloide z=5x2 y2 z=5x2 y2 sobre el plano z=3,z=3, y n puntos en la direccin z positiva en S. En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Stokes para hallar la circulacin de los siguientes campos vectoriales alrededor de cualquier curva cerrada, suave y simple C. F Por lo tanto, hemos verificado el teorema de Stokes para este ejemplo. EJERCICOS Calcular , donde es la frontera del cuadrado [1, 1] [1, 1] orientada en sentido contrario al de las . Ciencia, Educacin, Cultura y Estilo de Vida. Calcule la integral de lnea de F sobre C utilizando el teorema de Stokes. b) Si aplicamos el teorema de Green, la situacion es analoga a la del apartado (a), donde ahora la region D es la corona circular a x 2 +y 2 b. El cambio a coordenadas polares en este caso nos conduce a R ( N. x. Exmen preguntas y respuestas; Ejercicios Resueltos; Tema 1 - Conceptos de Unidad Didctica; Resumen Ser y tiempo; . 3 Cengage Learning, 22 mar. Antes de exponer las dos formas de la ley de Faraday, necesitamos algo de terminologa de fondo. C alculo de areas 15 5. Primeramente asumiremos que la funcin vectorial F solo posee definicin en el versor i. Mientras la funcin g correspondiente al versor j ser igual a cero. 5 Si queremos aplicar el teorema de Green, llamamos D al interior de la circunferencia x2 + y2 = ax. Calculamos ahora con lo que sabemos de Anlisis Vectorial, Por el teorema de Stokes. (0,1,2 ). Por lo tanto. Utilizar el teorema de Stokes para evaluar una integral de lnea. Teorema de Green 10 4. De 2 Con respecto a C2, el vector de posicin del segmento BO se expresa porr (t) = (0, ( 2/2) t, ( 2/2) t), donde 0 t 2/2. George Green formaliz su carrera estudiantil a los 40 aos, siendo hasta el momento un matemtico completamente autodidacta. Utilizar el teorema de Stokes para evaluar la integral de lnea C(zdx+xdy+ydz),C(zdx+xdy+ydz), donde C es un tringulo con los vrtices (3, 0, 0), (0, 0, 2) y (0, 6, 0) recorridos en el orden dado. Utilice el teorema de Stokes para evaluar C(ckR).dS.C(ckR).dS. 8162019 Teorema de Green 15 Final 1 126 FACULTAD DE INGENIERA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL Ttulo de Investigacin:TEOREMA DE GREEN CON APLICACIN $$$=(z^2+x,0-0,-z-3)$$$, Calculamos ahora la integral con la parametrizacin de la curva $$C$$: $$\gamma(t)=(2\cdot\cos(t),2\cdot\sin(t),2), \mbox{ para } t\in[0,2\pi]$$. Supongamos que S es un elipsoide x2 4+y2 9+z2 =1x2 4+y2 9+z2 =1 orientado en sentido contrario a las agujas del reloj y supongamos que F es un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.srizoF.nsrizoF.n. Al observar con detalle esta expresin, se hace evidente que al aplicar los criterios de funcin primitiva, se est en presencia de la integral de la expresin derivada de f respecto a y. Evaluada en los parmetros. Teorema de Green: Demuestra la relacin existente entre la integral de lnea alrededor de una curva C, y la integral doble sobre una regin plana D. Nabla (): Operador diferencial. Enunciemos las versiones anlogas a lo anterior en trminos de formas cuadrticas. Tenemos as, I = D [(y + 1) (x + 1)] dxdy = D (x y 2) dxdy. z 7.6. [T] Utilice un CAS y supongamos que F(x,y,z)=xy2 i+(yzx)j+eyxzk.F(x,y,z)=xy2 i+(yzx)j+eyxzk. Defina. Considera la espiral definida por las siguientes ecuaciones paramtricas en el dominio, Para aplicar el truco del teorema de Green, primero necesitamos encontrar un par de funciones. F(x,y,z)=2 yi6zj+3xk;F(x,y,z)=2 yi6zj+3xk; S es una porcin del paraboloide z=4x2 y2 z=4x2 y2 y est por encima del plano xy. Para qu valor(es) de a (si lo[s] hay) tiene S(F).ndSS(F).ndS su valor mximo? Esto no es demasiado complicado, pero s requiere mucho tiempo. Supongamos que F=xy,y+z,zx.F=xy,y+z,zx. Para resolver la integral, hacemos el cambio a coordenadas polares, x = u cos v, y = u sen v, con lo que: I = /2 /2 dv a cos v 0 u(u cos v u sen v 2) du = /2 /2 [ a 3 3 cos4 v a 3 3 cos3 v sen v a2 cos2 v ] dv = a 2 8 (a + 4). Adems de traducir entre integrales de lnea y de flujo, el teorema de Stokes puede utilizarse para justificar la interpretacin fsica del rizo que hemos aprendido. En los siguientes ejercicios de aplicacin, el objetivo es evaluar A=S(F).ndS,A=S(F).ndS, donde F=xz,xz,xyF=xz,xz,xy y S es la mitad superior del elipsoide x2 +y2 +8z2 =1,dondez0.x2 +y2 +8z2 =1,dondez0. Una superficie complicada en un campo vectorial. Al sumar todos los flujos sobre todos los cuadrados que aproximan la superficie S, las integrales de lnea ElF.drElF.dr y FrF.drFrF.dr se anulan entre s. Taylor & Francis, 16 jul. Halle el rea encerrada por la curva x 2 y 2 = 1 y las rectas y = 3, y = 3_._ Teorema de Green: Mdx + Ndy =. Calcule el rizo del campo elctrico E si el campo magntico correspondiente es un campo constante B(t)=1,4,2 .B(t)=1,4,2 . z Otra cosa que hay que observar es que la integral doble final no fue exactamente. 2 El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. Demostracion. La probabilidad para que dichos componentes sean defectuosos es de 0,2 (A1) y 0,05 (A2). El teorema de Green solo puede tratar superficies en un plano, pero el teorema de Stokes puede tratar superficies en un plano o en el espacio. 3. Ambas integrales son iguales a 12 ,12 , por lo que 01xdx=01f(x)dx.01xdx=01f(x)dx. Supongamos que S es la superficie que queda para y0,y0, incluyendo la superficie plana en el plano xz. OpenStax forma parte de Rice University, una organizacin sin fines de lucro 501 (c) (3). SOLUCIN El vector r es el vector posicin (x; y; z). Tomemos una forma cuadrtica q de R n y escribmosla como q = i = 1 r a i l i 2 con a 1, , a r reales y l 1, , l r formas lineales linealmente independientes. Sin embargo, el que xf(x).xf(x). F(x,y,z)=xyi+x2 j+z2 k;F(x,y,z)=xyi+x2 j+z2 k; y C es la interseccin del paraboloide z=x2 +y2 z=x2 +y2 y el plano z=y,z=y, y utilizando el vector normal que est hacia afuera. La Ecuacin 6.23 muestra que las integrales de flujo de los campos vectoriales de rizo son independientes de la superficie del mismo modo que las integrales de lnea de los campos de gradiente son independientes de la trayectoria. Aqu hay una explicacin ejercicios de derivadas parciales aplicadas a la economia podemos compartir. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 jul. 1. Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral de lnea CF.dr,CF.dr, donde F=z,x,yF=z,x,y y C est orientado en el sentido de las agujas del reloj y es el borde de un tringulo con vrtices (0,0,1),(3,0,2),(0,0,1),(3,0,2), y (0,1,2 ). El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . Este teorema es perfectamente aplicable para el espacio e integrales de superficie. El teorema de Green se llama as por el cientfico britnico George Green, y resulta ser un caso especial del ms general teorema de Stokes. Teorema de Stokes Teorema 2.1 (Stokes). SOLUCIN Clculo como integral de lnea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. El teorema de Stokes nos asegura que: , lo cual en s no implica una simplificacin demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de lnea. El teorema de Green se presenta comnmente como: Esto tambin es parecido a como suelen verse los problemas de prctica y las preguntas de examen. F(x,y)=y -x j . x Paso 2: qu debemos sustituir en lugar de P (x, y) P (x,y) y de Q (x, y) Q(x,y) en la integral \displaystyle \oint_\redE {D} x^2 y \,dx - y^2 dy D x2ydx y2dy? Yo s que puede ser un poco tonto preguntarlo, dado que acaba de ser indicado explcitamente en el problema. Utilice el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x,y,z)=zi+3xj+2 zkF(x,y,z)=zi+3xj+2 zk donde S es la superficie z=1x2 y2 ,z0,z=1x2 y2 ,z0, C es el crculo de borde x2 +y2 =1,x2 +y2 =1, y S est orientado en la direccin z positiva. Calcule la integral de superficie SrizoF.dS,SrizoF.dS, donde S es la superficie, orientada hacia el exterior, en la Figura 6.84 y F=z,2 xy,x+y.F=z,2 xy,x+y. Recomendamos utilizar una Por la Ecuacin 6.9. $$$=-\int_0^2\int_0^{2\pi}\Big(\dfrac{r^5}{4}\cdot\cos(t)+r^2\cdot\cos^2(t)+\dfrac{r^2}{2}+3\Big)\cdot r\cdot dtdr=$$$ El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de lnea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. 3 Teoremas de Stokes y Gauss 66 9.4. Echa un vistazo a la integral doble del teorema de Green: Esto significa que nuestra integral solo estaba calculando el rea de, Ahora imagina que no conociramos el rea de. 2 144 CAPITULO 13. La integral de lnea de un campo vectorial. Supongamos que CrCr es el crculo de borde de Dr.Dr. \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start color #bc2612, C, end color #bc2612, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, R, end color #bc2612, P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, left parenthesis, 3, comma, minus, 2, right parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, 3, y, d, x, plus, 4, x, d, y, P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, equals, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, minus, x, squared, start color #bc2612, D, end color #bc2612, \oint, start subscript, start color #bc2612, D, end color #bc2612, end subscript, x, squared, y, d, x, minus, y, squared, d, y, y, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, end superscript, dots, d, y, d, x, x, start subscript, 1, end subscript, equals, x, start subscript, 2, end subscript, equals, y, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, y, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, minus, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, \oint, start subscript, start color #bc2612, D, end color #bc2612, end subscript, x, squared, y, d, x, minus, y, squared, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, equals, 1, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, right arrow, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, d, A, equals, start text, A, with, \', on top, r, e, a, space, d, e, space, end text, start color #bc2612, R, end color #bc2612, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals, 1, 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, left parenthesis, 2, pi, comma, 0, right parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start underbrace, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, y, d, x, end underbrace, start subscript, P, d, x, end subscript, plus, start underbrace, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, d, y, end underbrace, start subscript, Q, d, y, end subscript, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, d, y, minus, y, d, x, right parenthesis, integral, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, start underbrace, d, y, end underbrace, start subscript, 0, end subscript, minus, start underbrace, y, end underbrace, start subscript, 0, end subscript, d, x, right parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, integral, start subscript, start text, E, s, p, i, r, a, l, end text, end subscript, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, d, y, minus, y, d, x, right parenthesis, equals.
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